ポアソン分布 (Poisson分布)

一定の確率で発生すること（例えば交通事故）が、ある期間で何回発生するかの分布。

例えば、交通事故が起こる確率が１日あたり2.2件だった場合、１日で発生する交通事故の件数の分布はポアソン分布になる。

解説

ポアソン分布の式　e^{-\lambda} \ \lambda^x / x!は二項分布の式、{}_n C _x p^x(1-p)^{n-x}において、nが大, pが小, np≒\lambdaのときの近似である。

よって、平均、分散は二項分布と同じく、平均 np と分散 np(1-p)になる。

証明

の近似式を二項分布の式に代入して、

{}_n C _x p^x(1-p)^{n-x}

≒n(n-1) \cdots (n-x+1)/x! \ \cdot \ \lambda^x/n^x \ \cdot \ e^{-\lambda} \cdot 1

≒n(n-1) \cdots (n-x+1)/n^x \ \cdot\ e^{-\lambda} \lambda^x / x!

nがxに比べて十分に大きい時は、n(n-1) \cdots (n-x+1)/n^x = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdot \cdot \frac{n-x+1}{n}は1に近づくので、

≒e^{-\lambda} \ \lambda^x / x!

参考

文献